Hi there!
Sorry, but today I don’t have time to share my anecdote. Let me quickly get down to a word problem given at MIT.
Derive the formula \(\frac{d}{dx}a^{x} = M(a)a^{x}\) directly from the definition of the derivative, and identify \(M(a)\) as a limit. (Source: Massachusetts Institute of Technology exams)
Here is my solution to the problem.
\(\frac{d}{dx}(a^{x}) = \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{a^{x + h} – a^{x}}{h})\)
\(= \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{a^{x}a^{h} – a^{x}}{h})\)
\(= \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{a^{x}(a^{h} – 1)}{h})\)
\(= a^{x}\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{a^{h} – 1}{h})\)
Thus, \(M(a) = \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{a^{h} – 1}{h})\)
Special thanks to MIT. I could review what the derivative is like.
Stay tuned, and expect to see my next post.
Keep well.
Frank Yoshida
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