Frank
こんにちは＜Frank＞です。
以前から、どれぐらいの速度でロケットを打ち上げれば地球の周回軌
道に乗せることができるのか、ずっと疑問に思っていました。今回は
その疑問の答えに少しは近づけそうです。
早速、ケプラーの法則と万有引力の法則について紐解いてみましょう。
１．ケプラーの法則
ケプラーの法則は、ヨハネス・ケプラーによって発見された、惑星の
運動に関する三つの法則です。
１）第一法則（楕円軌道の法則）
惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描いて運動する。
楕円のもう一方の焦点には何も存在しません。
２）第二法則（面積速度一定の法則）
惑星と太陽を結ぶ直線（動径）が単位時間あたりに描く面積は一
定である。これにより、惑星が太陽に近づくと速度が速くなり、
遠ざかると速度が遅くなります。
３）第三法則（調和の法則）
惑星の公転周期の二乗は、その軌道の長半径の三乗に比例する。
数式で表すと、
𝑇2 ∝ 𝑎3
ここで、𝑇 は公転周期、𝑎 は長半径です。
２．万有引力の法則
アイザック・ニュートンによって提唱されたこの法則は、すべての質
量を持つ物体の間に引力が働くことを説明しています。
・万有引力の法則
２つの物体間に働く引力の大きさは、それぞれの質量の積に比例し、
物体間の距離の二乗に反比例します。
数式で表すと、
𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2／𝑟2
ここで、𝐹 は引力の大きさ、𝐺 は万有引力定数、𝑚1 と 𝑚2 は物
体の質量、𝑟 は物体間の距離です。
３．万有引力による位置エネルギー
位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）は、引力場における物体
の位置によって決まるエネルギーです。
・万有引力による位置エネルギー
２つの質量 𝑚1 と 𝑚2 の間の距離 𝑟 における位置エネルギーは、
𝑈 = −𝐺𝑚1𝑚2／𝑟
で表されます。
ここで、𝑈 は位置エネルギーで、負の値であることが特徴です。こ
れは、引力によって物体が引き合うため、物体が近づくとエネルギ
ーが低くなることを示しています。
これらの法則と概念は、惑星の運動、衛星の軌道、天体の力学など、
多くの天文学的現象を理解するための基礎となります。
参考文献の『もう一度 高校物理』のページ112 ~ 113の例題13は
ロケットの運動方程式やロケットの速さ・全力学的エネルギー等を
求める問題で楽しかったです。
数式はまだ頭に入っていませんが、物理を学習している気持ちにな
り、更に好奇心が膨らんできました。
ではここで今回の単元に関連した問題を出題します。模範解答は罫
線の後に掲載しています。解答後、参照してください。
【問題】
質量 𝑀 の恒星の周りを質量 𝑚 の惑星が円軌道で回っているとす
る。恒星と惑星の間の距離を 𝑅 、万有引力定数を 𝐺 とする。
１．惑星が恒星から受ける引力の大きさ 𝐹 を求めなさい。
２．惑星がこの円軌道を公転する周期 𝑇 を求めなさい。
３．恒星の質量が 2𝑀 になった場合、公転周期はどのように変化
するか、その変化率を答えなさい。
【Gratitude】
Special thanks to Pixabay for free photos.
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
【参考図書】『もう一度｜高校物理』（為近和彦氏、日本実業出版社）
 |
新品価格 |
【コンテント】当サイトで提供する情報はその正確性と最新性の確保
に努めていますが完全さを保証するものではありません。当サイトの
内容に関するいかなる間違いについても一切の責任を負うものではあ
りません。
【Copyright Notice】Special thanks to ChatGPT. This content was ge-
nerated with the assistance of ChatGPT, an AI language model devel-
oped by OpenAI. The above text is a summary of ChatGPT’s response
to my question, supplemented with my own reflections and comments.
I have made edits and additions to the original response before publish-
ing. Upon completing the study of the reference materials, I intend to
further elaborate on the content. All rights to the text are retained by the
original author and OpenAI. Any reproduction or use of this content
should properly acknowledge the source.
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
【模範解答】
１．引力の大きさ 𝐹
万有引力の法則より、恒星が惑星に及ぼす引力の大きさは次のよう
に表される。
𝐹 = (𝐺𝑀𝑚／𝑅2)
２．公転周期 𝑇
惑星が円軌道で運動しているため、引力は向心力として働く。
この関係を用いて次の式が成り立つ。
(𝐺𝑀𝑚／𝑅2) = (𝑚𝑣2／𝑅)
ここで、𝑣 は惑星の公転速度。これを整理すると、
𝑣2 = (𝐺𝑀／𝑅)
公転速度 𝑣 は、軌道の円周 2𝜋𝑅 を公転周期 𝑇 で割ったものに等
しいので、
𝑣 = (2𝜋𝑅／𝑇)
これを先ほどの式に代入して、次のように整理する。
(2𝜋𝑅／𝑇)2 = (𝐺𝑀／𝑅)
これを 𝑇 について解くと、
𝑇2 = (4𝜋2𝑅3／𝐺𝑀)
したがって、公転周期は、
𝑇 = 2π{√(𝑅3／𝐺𝑀)}
３．恒星の質量が 2𝑀 になった場合
恒星の質量を 2𝑀 にすると、新しい公転周期 𝑇′ は次のようにな
る。
𝑇′ = {2𝜋(√𝑅3／𝐺(2𝑀))}
この式をもとの 𝑇 の式と比較すると、
𝑇′ = 𝑇 × {1／(√2)}
つまり、公転周期は (√2) 分の 1 になる。したがって、公転周期
は約 29.3% 減少する。
［解説］公転周期 𝑇 は恒星の質量 𝑀 に反比例して (√𝑀) に依存
する。したがって、質量が 2 倍になると周期は (√2) 分
の 1 に短縮される。
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
今日もご一読いただき、ありがとうございました。
大学受験の物理でお悩みなら、こちらの講座がお薦めです。
学習のリズム作りにご活用ください。早速講座をチェック！
尚、私の姉妹ブログ実践英語の達人では実践ビジネス英語や英検®
１級等の資格講座、また大学受験生に対する個別指導もオンライン
で行っています。良かったらご一読ください。
只今、人気ブログランキングに参加しています。
今日の［実践物理の達人］ブログのランキングは？
