こんにちは＜Frank＞です。

今回の＜単振動＞は、文系の私にはかなりタフでした（笑）参考図書
の例題（ページ120 ~ 121）の計算方法を確認するだけで精一杯でし
た。

（１）の ④ での v = v₀cos｛√(k／m)t｝
（１）の ⑤ での a = -v₀｛√(k／m)｝・sin｛√(k／m)t｝

の計算方法は納得できたので良しとします。では以下に、単振動につ
いて基本事項をまとめておきます。

１．円運動との関係
単振動は、円運動と密接な関係があります。円運動を横から見ると、
その影は単振動のように見えます。具体的には、円運動をする物体の
位置を投影すると、その位置が単振動を表現します。

この関係を理解するために、以下の点を考えます。

１）円運動の半径 𝑟 を持つ物体が一定の角速度 𝜔 で動くとします。
２）この円運動を x 軸上に投影すると、物体の x 座標は
　　𝑥(𝑡) = 𝑟cos(𝜔𝑡 + 𝜙) または 𝑥(𝑡) = 𝑟sin(𝜔𝑡 + 𝜙)
　　となります。
３）この投影された運動が、単振動の運動方程式に対応します。

２．単振動の運動方程式
単振動は、特定の運動方程式で記述されます。この運動方程式は、物
体が均衡位置からの変位に比例して復元力を受けるという原理に基づ
いています。一般的な単振動の運動方程式は次のようになります。

𝑚(𝑑²𝑥／𝑑𝑡²) = −𝑘𝑥

ここで、𝑚 は物体の質量、𝑘 はバネ定数（復元力定数）、𝑥 は変位
です。この運動方程式を整理すると、以下のような形になります。

(𝑑²𝑥／𝑑𝑡²) + (𝑘／𝑚)𝑥　=　0

この方程式の解は、一般に次のような形をとります。

𝑥(𝑡) = 𝐴sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

ここで、𝐴 は振幅、𝜔 は角周波数、𝜙 は初期位相です。角周波数 𝜔
は以下のように表されます。

𝜔 = (√k／m)

３．単振動の周期
単振動の周期 𝑇 は、物体が一回の振動を完了するのにかかる時間を
示します。周期は角周波数 𝜔 と関係しています。

周期 𝑇 は、角周波数 𝜔 に基づいて次のように求められます。

𝑇 = 2𝜋／𝜔

したがって、角周波数 𝜔 = (√k／m) を代入すると、

𝑇 = 2𝜋(√m／k)

この式から、単振動の周期が物体の質量 𝑚 とバネ定数 𝑘 に依存し
ていることがわかります。

今は「木を見て森を見ず」ではなく、森を見て全体像を掴むとこにし
ます。かなり楽観的な私です。

さて今日の問題です。模範解答は罫線の後に掲載しています。
解答後、参照してください。

【問題】
質量 𝑚 = 0.5 kg の物体がばね定数 𝑘 = 100 N/m の水平なばねにつなが
れて滑らかな水平面上で単振動を行っている。ばねの自然長からの最
大変位（振幅）は 𝐴 = 0.1 m であるとする。

１．この単振動の周期 𝑇 を求めよ。
２．振動の中心から変位 𝑥 = 0.05 m の位置にあるときの物体の速さ 𝑣
　　を求めよ。

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【模範解答】
１．単振動の周期 𝑇
単振動の周期は次の式で表される。
𝑇 = 2𝜋{√(𝑚／𝑘)}
与えられた値を代入すると、
𝑇 = 2𝜋{√(0.5 kg／100 N/m)}
これを計算すると、
𝑇 = 2𝜋(√0.005 s²)
𝑇 ≈ 2𝜋 × 0.0707 s
𝑇 ≈ 0.444 s
よって、周期
𝑇 は約 0.444 s 。

2. 変位 𝑥 = 0.05 m の位置にあるときの速さ 𝑣
単振動における物体の速さは次の式で求められる。
𝑣 = 𝜔{√(𝐴² − 𝑥²)}
ここで、角振動数 𝜔 は以下のように定義される。
𝜔 = {√(𝑘／𝑚)}
与えられた値を代入して、
𝜔 = {√(100 N/m／0.5 kg)}
𝜔 = {√(200 rad²／s²)}
𝜔 ≈ 14.14 rad/s
速さ 𝑣 を求めるために、
𝑣 = 14.14 rad/s × {√(0.1 m)² − (0.05 m)²}
𝑣 = 14.14 rad/s × {√(0.01 m² − 0.0025 m²)}
𝑣 = 14.14 rad/s × {√(0.0075 m²)}
𝑣 = 14.14 rad/s × 0.0866 m
𝑣 ≈ 1.225 m/s
よって、変位
𝑥 = 0.05 m の位置にあるときの速さ 𝑣 は約1.225 m/s となる。

［解説］
１）周期 𝑇 の計算は単振動の基本式から求める。物体の質量 𝑚 と
　　ばね定数 𝑘 の比が周期に影響する。
２）速さ 𝑣 は角振動数 𝜔 を利用して求められ、変位と振幅の差が
　　速さに関わる。位置エネルギーと運動エネルギーの変化を考
　　慮して導出できる。

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今日もご一読いただき、ありがとうございました。

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