こんにちは＜Frank＞です。

今回は円運動の３つの式と遠心力について学習しましょう。

１．円運動の速さの式
円運動における物体の速さ 𝑣 は、円の半径 𝑟 と周期 𝑇 または角速
度 𝜔 を用いて表されます。

１）周期 𝑇 を用いた式
　　𝑣 = 2𝜋𝑟／𝑇​
２）角速度 𝜔 を用いた式
　　𝑣 = 𝑟𝜔

ここで、角速度 𝜔 は単位時間あたりの回転角度を表し、次のように
定義されます。

𝜔 = 2𝜋／𝑇　

２．円運動の加速度の式
円運動における加速度（向心加速度）は、常に円の中心に向かって作
用します。向心加速度 𝑎 は速さ 𝑣 と半径 𝑟 を用いて次のように表
されます。

𝑎 = 𝑣²／𝑟

または、角速度 𝜔 を用いると、

𝑎 = 𝑟𝜔²

３．円運動の運動方程式
円運動の運動方程式は、ニュートンの第二法則 𝐹 = 𝑚𝑎 を用いて表
されます。円運動の場合、向心力 𝐹 が必要です。この向心力は、物
体が円軌道を維持するために中心に向かって働く力です。

𝐹 = 𝑚𝑎

向心加速度 𝑎 = 𝑣² を代入すると：

𝐹 = 𝑚𝑣²／𝑟

または、角速度 𝜔 を用いると、

𝐹 = 𝑚𝑟𝜔²

４．遠心力
遠心力は、回転する物体において感じる見かけの力であり、実際には
慣性力です。遠心力は物体が円軌道を維持する際に、外向きに働くよ
うに感じられる力です。

遠心力 𝐹_centrifugal の大きさは、向心力と同じです。

𝐹_centrifugal = 𝑚𝑣²／𝑟 = 𝑚𝑟𝜔²

ただし、遠心力は慣性系ではなく、回転系の観測者に対して感じられ
る見かけの力であることに注意してください。

以上、まとめると、

（１）円運動の速さ
　　　𝑣 = 2𝜋𝑟／𝑇 または 𝑣 = 𝑟𝜔
（２）円運動の加速度
　　　𝑎 = 𝑣²／𝑟 または 𝑎 = 𝑟𝜔²
（３）円運動の運動方程式
　　　𝐹 = 𝑚𝑣²／𝑟 または 𝐹 = 𝑚𝑟𝜔²
（４）遠心力
　　　𝐹_centrifugal = 𝑚𝑣²／𝑟 または 𝐹_centrifugal = 𝑚𝑟𝜔²

以上の式を理解することで、円運動の基本的な性質を把握することができます。

ではここで基本的な問題を出題します。模範解答は罫線の後に掲載
しています。解答の後、参照してください。

【問題】
質量 𝑚 の物体が、水平な面上を半径 𝑅 の円軌道に沿って一定の角速度
𝜔 で運動しています。この運動の中で、摩擦は存在しないと仮定します。

１．この物体が受ける向心力 𝐹 を求めなさい。
２．円軌道上に垂直抗力 𝑁 が作用しているとき、物体が円運動を
　　維持するために必要な垂直抗力 𝑁 を求めなさい。

（条件）重力加速度を 𝑔 とする。

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【模範解答】
１．向心力 𝐹 を求める
向心力 𝐹 は、物体が円運動をする際にその中心に向かって働く力
で、次の式で表される。
𝐹 = 𝑚ω²𝑅
円運動では、物体が常に中心に引き寄せられる力を受けて運動する。
質量 𝑚 の物体が半径 𝑅 の軌道を角速度 𝜔 で運動するとき、向心
力は次のように求められる。
𝐹 = 𝑚𝜔²𝑅
これにより、中心に向かう加速度 𝑎 = 𝜔²𝑅 が生じ、
それに質量 𝑚 を掛けて求まる。

２．必要な垂直抗力 𝑁 を求める
物体に働く垂直抗力 𝑁 は、円軌道上で鉛直成分の力を打ち消す必
要がある。水平面上での円運動のため、垂直抗力は重力 𝑚𝑔 を打
ち消す形になる。𝑁 = 𝑚𝑔
この物体が水平な面上を運動しているため、鉛直方向には加速度が
存在せず、垂直抗力 𝑁 は重力と等しい力で上向きに働く。そのた
め、次の関係が成り立つ。
𝑁 − 𝑚𝑔 = 0 ⟹ 𝑁 = 𝑚𝑔
以上により、物体が円運動を維持するためには、垂直抗力は
𝑁 = 𝑚𝑔 であることがわかる。

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今日もご一読いただき、ありがとうございました。

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