“would” が正解です。otherwiseは「さもなければ」の意味の副詞。この文では、「リズが今日忙しくなければ」（If Liz were not busy today）という、事実に反した仮定を表しており、実際は手伝ってもらえないと判断できるので、仮定法のwouldを使います。otherwiseは、事実に反した仮定をするときにも使われます。

“memorized … could” が正解です。実現の可能性が低いことを仮定する場合は仮定法を使います。

“Span” is the length of time that something lasts.が正解です。spermは「精液（※正しくはsemen。spermは俗称）；《生物》精子（= spermatozoon）」。procrastinationは「（するべきことの）先延ばし、引き延ばし、先送り」。Procrastination is the thief of time.「思い立ったが吉日」。procrastinationの反対語は、precrastination「（仕事などを期限前に）可能な限り早く終わらせること」です。

reluctantly「しぶしぶ」が正解です。adamantlyは「頑固に、確固として」。cursivelyは「筆記体の流儀で」。heinouslyは「凶悪に」。opaquelyは「不透明に」。poignantlyは「痛烈に、身を切るように」。surlyは「（表情・態度が）不機嫌な、むっつりした、ぶっきらぼうな」(adj)です。

“is” が正解です。”as if” の後の節では仮定法が使われることが多いのですが、it looks [seems] as if「どうやら…のようだ」の意味の場合、単なる様子や状態を表しているので、直説法の動詞を用いるのが一般的です。

“were” が正解です。It is (about [high]) time (that) … 「…してもいいころだ」の後は仮定法の過去を使います。但し、時として仮定法現在や［should+動詞の原形］が使われることもあります。

“left” が正解です。when he ( ) はif節の一部ですが、「家に出るとき」という事実を述べたものなので、過去時制にします。

“told” が正解です。”would rather” の後は殆どの場合、動詞の原形が続き「むしろ…したい」となりますが、後ろに節が来る場合は動詞は仮定法過去になるのが普通です。文意は、「どちらかと言えば、ジェフにはそのプロジェクトで起きたどんな小さな問題も話してほしい」です。

“Opponent” is a person who is against something and tries to change or stop it.が正解です。an enthusiastic proponentなら「熱心な支持者」。an imminent dangerなら「差し迫った［急迫の・切迫した］危険」。an eminent architectなら「有名な建築家」です。

“Emphasize” is to give special importance to something.が正解です。undermine a personal relationshipなら「個人的な［私的な・人的・人間］関係を弱体化させる」。ossifyは「骨化する［させる］」。scoff at someone’s clumsinessなら「（人）の不器用さをあざ笑う」です。