こんにちは＜Frank＞です。

今回は、経済学で重要な概念「限界代替率（Marginal Rate of Substitution, MRS）」を求めてみます。高校数学の微分を使った実践例を通して、MRS の直感的理解を深めていきましょう。

限界代替率（MRS）とは、ある無差別曲線上で、消費者が効用を変えずにある財をもう一方の財で代替できる比率のことです。簡単に言えば、「どれだけの y を犠牲にすれば、x を１単位増やせるか」を示す値です。

ここで、技術的限界代替率（MRTS）の考え方も参考にします。MRTS とは、生産量を一定に保ちながら、労働と資本の投入をどれだけ代替できるかを示す値です。MRSも同様に、消費者の効用を一定に保ったまま財の組み合わせを代替する比率として理解できます。

【問題】

無差別曲線の式 \(u(x, y) = xy = k\) において、点 \(A(2, 10)\) と \(B(10, 2)\) での \(MRS_{x,y}\) を求めてください。

【解答例】

\(\frac{dy}{dx} = – \frac{MU_{x}}{MU_{y}} = – \frac{\frac{d(xy)}{dx}}{\frac{d(xy)}{dy}} = – \frac{y}{x}\)

\(MRS_{xy}(2, 10) = \frac{y}{x} = \frac{10}{2} = 5\)
\(MRS_{xy}(10, 2) = \frac{y}{x} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2\)

この計算から、MRS は無差別曲線上の点によって大きく変化することが分かります。消費者が x を増やす場合、y の減少分（犠牲量）は点によって異なるため、MRSは点ごとに変化します。

因みに、最終値にはマイナスはつけないのが正しい書き方で、これが慣習となっています。なぜなら MRS は「代替比率（正の量）」を表すのが一般的だからです。

参考までに、無差別曲線とは、消費者が同じ効用を得られる財の組み合わせを結んだ曲線で、「等効用線」とも呼ばれます。

高校数学と経済学を組み合わせることで、MRS の直感的理解が深まります。微分を使った計算を通して、消費者行動の基礎をしっかり押さえましょう。

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