こんにちは、Frankです。

日本人数学者が「ABC予想」（ABC conjecture）の解決に近づく成果を示したというニュースを聞くと、胸が熱くなります。

「善行は伝染する」という言葉がありますが、まさにその通り。高いレベルの研究者の挑戦は、私のような学び続けたい人間にも、静かで力強い刺激を与えてくれます。

私はそこまで勉強家ではありませんが、以下のような“効用最大化”の問題を前向きに考える余白くらいはあります。

■ 効用最大化の例題

効用 \(u = f(x, y) = xy\) を最大化することを考えます。
ただし制約条件は次の通り：

\(g(x, y) = 2x + 4y = 560\)

ここで、財 \(x\) の単価は 2、財 \(y\) の単価は 4、利用可能な予算は 560。
この条件のもとで効用はどこで最大になるのか？

結論から言うと、効用は (140, 70) で最大化されます。

■ 導出のプロセス

目的関数：最大化 \(u(x, y) = xy\)
制約条件：\(g(x, y) = 2x + 4y = 560\)

1. 限界代替率（無差別曲線の傾き）は \(-\frac{fx}{fy} = -\frac{y}{x}\)　

2. 予算制約の傾きは \(-\frac{gx}{gy} = -\frac{1}{2}\)

3. 効用最大化は、両者の傾きが一致する点で起こる：

\(-\frac{y}{x} = -\frac{1}{2}\)

したがって、
\(x = 2y\)

4. この関係を制約式に代入する：

\(2x + 4y = 560\)

\(2(2y) + 4y = 560\)

\(4y + 4y = 560\)

\(8y = 560\)

\(y = 70\)

そして、
\(x = 2 ✕ 70 = 140\)

ゆえに、効用最大点は (140, 70) となります。

この問題は、以前どこかのサイトで見かけたものと似ているのですが、出典を完全に忘れてしまいました。もし元の情報をご存じの方がいれば、ぜひお知らせください。確認でき次第、きちんと引用したいと思います。

数学の専門家になるには道のりは長いですが、粘り強く一歩ずつ進んでいきます。

次回の記事も楽しみにしていてください。

---

Heads-up!

This problem looks similar to one I once saw on another site, but I’ve completely forgotten the original source. If anyone knows the exact reference, please let me know—I’ll be sure to cite it properly once confirmed.

---

【グローバルビジネスで役立つ数学】でもっと学習する b＾＾)
【参考図書】『もう一度高校数学』（著者：高橋一雄氏）株式会社日本実業出版社
【レッスン】オンライン英語レッスンをご希望の方はこちらをご覧ください。
【コンテント】当サイトで提供する情報は、その正確性と最新性の確保に努めていますが完全さを保証するものではありません。当サイトの内容に関するいかなる間違いについても一切の責任を負うものではありません。

　

---

只今、人気ブログランキングに参加しています。
今日の［実践数学の達人］のランキングは——