こんにちは＜Frank＞です。

少しずつですが、物体の衝突時における sin, cos の計算方法が分かっ
てきたので、運動量保存則の解法を読んでも若干理解できるようにな
りました。参考図書を何度も読んで、更に理解を深めないといけませ
ん。

１．衝突と運動量保存則
１）運動量とは
運動量（momentum）は、物体の質量（𝑚）と速度（𝑣）の積で定義
されます。

𝑝 = 𝑚𝑣

２）運動量保存則
運動量保存則は、外部からの力が働かない限り、閉じた系（他の物体
と相互作用しない系）内での総運動量は一定であるという法則です。

例えば、２つの物体AとBが衝突する場合、それぞれの運動量は衝突前
後で変わることがありますが、系全体の運動量の合計は変わりません。

・衝突前の運動量の和：
　𝑝_before = 𝑚𝐴𝑣𝐴1 + 𝑚𝐵𝑣𝐵1

・衝突後の運動量の和：
　𝑝_after = 𝑚𝐴𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵𝑣𝐵2

運動量保存則によれば、次の式が成り立ちます。
𝑝_before = 𝑝_after
𝑚𝐴𝑣𝐴1 + 𝑚𝐵𝑣𝐵1 = 𝑚𝐴𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵𝑣𝐵2

２．跳ね返り係数
１）定義
跳ね返り係数（coefficient of restitution, 𝑒）は、衝突前後の速度の比
を表す無次元量です。この係数は、衝突がどれだけ弾性的であるかを
示します。跳ね返り係数は次のように定義されます。

𝑒 = (𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2)／(𝑣𝐴1 − 𝑣𝐵1)

ここで、

𝑣𝐴1, 𝑣𝐵1 は衝突前の物体Aおよび物体Bの速度
𝑣𝐴2, 𝑣𝐵2 は衝突後の物体Aおよび物体Bの速度

２）跳ね返り係数の値
𝑒 = 1 : 完全弾性衝突。エネルギー損失がない理想的な衝突。
0 < 𝑒 < 1 : 非弾性衝突。衝突によって一部のエネルギーが失われる。
𝑒 = 0 : 完全非弾性衝突。物体が衝突後に一体化して同じ速度で動く。

３）完全弾性衝突の場合の速度
完全弾性衝突（𝑒 = 1）の場合、エネルギーも保存されるため、以下
の関係が成り立ちます。

・衝突後の速度を求めるための式

𝑣𝐴2 =｛(𝑚𝐴 − 𝑚𝐵)／(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)｝・𝑣𝐴1 +｛(2𝑚𝐵)／(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)｝・𝑣𝐵1
𝑣𝐵2 =｛(2𝑚𝐴)／(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)｝・𝑣𝐴1 +｛(𝑚𝐵 − 𝑚𝐴)／(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)｝・𝑣𝐵1

これらの式を使うことで、衝突後の物体の速度を計算することができ
ます。

以上、運動量保存則は、衝突前後の系全体の運動量が保存される法則
です。跳ね返り係数は、衝突がどれだけ弾性的かを示す指標であり、
0から1の間で変化します。このように、衝突の解析には運動量保存則
と跳ね返り係数の両方を用いることが重要です。

ではここで基礎的な問題を出題します。模範解答は罫線の後に掲載
しています。解答後、参照してください。

【問題】
質量 𝑚₁ = 2 kg の物体 A が、速さ 𝑣₁ = 4 m/s で右向きに運動してい
る。一方、質量 𝑚₂ = 3 kg の物体 B は静止している。物体 A が物体
B に完全弾性衝突をした後、物体 A の速さ 𝑣₁‘ と物体 B の速さ 𝑣₂′ を
求めよ。条件は、１）衝突は一方向に沿って行われ、完全弾性衝突
である、２）重力や摩擦などの外力は無視できる。

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【模範解答】
1. 運動量保存則
衝突前後で運動量が保存されるので、次の式が成り立ちます。
𝑚₁𝑣₁ + 𝑚₂𝑣₂ = 𝑚₁𝑣₁′ + 𝑚₂𝑣₂′
数値を代入して整理すると、
2 × 4 + 3 × 0 = 2𝑣₁′ + 3𝑣₂′
8 = 2𝑣₁′ + 3𝑣₂′・・・（１）

２．力学的エネルギー保存則
完全弾性衝突では、運動エネルギーも保存されるので、以下の式が
成り立ちます。
{(1／2) × 2 kg × 4 m/s²} + {(1／2) × 3 kg × 0 m/s²}
= {(1／2) × 2 kg × v₁‘²} + {(1／2) × 3 kg × v₂‘²}
この式を簡単にすると、
16 = v₁‘² + (3／2)v₂‘²・・・（２）

３．式（１）を v₁‘ について解く
式（１）を v₁‘について解くと、
v₁‘ = {(8 – 3v2’)／2}・・・（３）

４．式（３）を式（２）に代入
式（３）を式（２）に代入して、v₂‘を求めるための方程式を作ります。
16 = [(8 – 3v2’)／2]² + (3／2)v₂‘²
この方程式を解いて、v₂‘ の値を求めます。その後、求めた v₂‘ を式
（３）に代入して v₁‘ を求めます。

５．計算結果
計算の結果、衝突後の物体 A の速さは -0.8 m/s（左向き）、物体 B
の速さは 3.2 m/s（右向き）となります。

運動量保存則と力学的エネルギー保存則を利用することで、物体の
衝突後の速さを求めることができます。完全弾性衝突では、運動エ
ネルギーも保存されるため、これら２つの保存則を組み合わせて解
を導きます。

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今日もご一読いただき、ありがとうございました。

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