こんにちは＜Frank＞です。

今日で144日目。今回のテーマ「ケーリー・ハミルトンの定理」を
見て、文系脳の私でも「数学をかじっている」という気持ちにさせ
てくれました。

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・ケーリー・ハミルトンの定理
　＊\(A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) のとき、\(A^{2} – (a + d)A + (ad – bc)E = O\)
　　（逆は成り立たない）

Wikipediaには「線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理
（Cayley-Hamilton theorem）またはハミルトン・ケイリーの定理
とは、（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有方
程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリア
ム・ローワン・ハミルトンに因む」とありますが、「ややこしく
説明しすぎでしょ」と勝手に思ったので、取り敢えず上記の定理
だけ憶えることにしました。

テキストもう一度高校数学の413ページでは行列 \(A\) をベースに整
式の次数下げが登場。ケーリー・ハミルトンの定理を使った解法
が圧巻でした。

今回は整式の次数下げのブログでの作業にチャレンジしました。

\(
\require{enclose}
\begin{array}{r}
A^{2} – A + 2E\phantom{-9A + 4E} \\[-3pt]
A^{2} – 4A + E \enclose{longdiv}{A^{4} – 5A^{3} + 7A^{2} – 9A + 4E} \\[-3pt]
\underline{A^{4} – 4A^{3} + A^{2}}\phantom{-9A +4E} \\[-3pt]
-A^{3} + 6A^{2} – 9A \phantom{+4E} \\[-3pt]
\underline{-A^{3} + 4A^{2} – A} \phantom{+4E} \\[-3pt]
2A^{2} – 8A + 4E \\[-3pt]
\underline{2A^{2} -8A + 2E} \\[-3pt]
2E \\[-3pt]
\end{array}
\)

けっこうずれていますが、ブログでの整式の次数下げは初めて
なのでご勘弁を。今年中に上下の数式がうまく揃うように練習
しようと思います。

次回は＜逆行列とは＞です。どうぞお楽しみに b＾＾)

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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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【参考図書】『もう一度高校数学』（著者：高橋一雄氏）株式会社日本実業出版社

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