こんにちは＜Frank＞です。

今日で172日目。今回の単元「背理法」（proof by contradiction）
は私のお気に入りの学習項目のひとつです。理由は――。

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大学時代、英語のディベートクラブに入っていたので、こうした
ロジックの組立は大好きです。聡明ではありませんが。

早速、背理法を使って下記の命題を証明してみましょう。

\(\sqrt{10}\) が無理数であることを用いて、\(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) が無理数であることを証明せよ。

\(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) が無理数でないと仮定すると、\(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) は有理数で
ある。

\(\sqrt{2}+\sqrt{5} = p\)（\(p\) は有理数）とおいて、両辺を２乗すると、
\(7 + 2\sqrt{10} = p^{2}\)
変形して、\(\sqrt{10} = \frac{p^{2} – 7}{2}\)

\(p\) は有理数であるので、\(\frac{p^{2} – 7}{2}\) も有理数となり、\(\sqrt{10}\) が無理数で
あることに矛盾する。

したがって、\(\sqrt{2}+\sqrt{5}\) は無理数である。

この証明はシンプルで楽しかったです。

次回は《数学的帰納法＞です。どうぞお楽しみに b＾＾)

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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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