こんにちは＜Frank＞です。

今日で118日目。今回はぶったまげました。「なんだ定積分の単なる
続きだ」と思ったら大間違い。公式を見てびっくりです。

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・定積分の部分積分 \(\int^b_{a}u’vdx = [uv]^b_{a} – \int^b_{a}uv’dx\)

なぜ驚いたかと言うと、テキストもう一度高校数学の342ページの部
分積分の公式をすっかり忘れていたからです。

\(\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) – \int f(x)g'(x)dx\)
もしくは、\(f(x) = u、g(x) = v\) とおいて
\(\int u’vdx = uv – \int uv’dx\)

上記の式を定積分にも応用するというわけです。

早速、復習して、次の定積分を求めてみました。著作権上、テキスト
の357ページの【演習165】の数式を若干変えて掲載しています。

\(\int^{\frac{π}{2}}_{0}xcos\,xdx\)

\(\int^b_{a}uv’dx = [uv]^b_{a} – \int^b_{a}u’vdx\) より、
\(u = x、v’ = cos\,x\) と考える。

よって、はじめに

\(v’ = cos\,x → v = sin\,x\)。

つぎに

\(u = x → u’ = 1\)

とする。

\(\int^{\frac{π}{2}}_{0}xcos\,xdx = [xsin\,x]^{\frac{π}{2}}_{0} – \int^{\frac{π}{2}}_{0}six\,xdx\)
\(= (\frac{π}{２}sin\frac{π}{2} – 0) – (sin\frac{π}{2} – 0)\)
\(= \frac{π}{2}・1 – 1\)
\(= \frac{π}{2} – 1\)（答）

となります。

いや～ちゃんと「復習」しておかないと、後になって「復讐」される
典型的な例ですね。数学は積み重ねの学問。何度肝に銘じていること
やら (＾＾)>

次回は＜微分と定積分の関係＞です。お楽しみに b＾＾)

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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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【参考図書】『もう一度高校数学』（著者：高橋一雄氏）株式会社日本実業出版社

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今日もご一読いただき、ありがとうございました。

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