こんにちは＜Frank＞です。

今日で119日目。今回は定積分の関数の極値を求めます。
微分と積分の理解が必須で同時進行なんです。

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・微分と定積分の関係（\(x\) は変数、\(a\) は定数）
　＊\(\frac{d}{dx}\int^x_{a}f(t)dt = f(x)\)
・定積分の公式
　＊\(\int^a_{a}f(t)dt = 0\)

この単元では定積分の極値を求めてみます。著作権の関係上、数式
を若干変えて計算します。

関数 \(f(x) = \int^x_{0}3t(t – 1)dt\) の極値を求めます。

\(f'(x) = 3t(t – 1)\)

ここで、\(f'(x) = 0\) のとき、\(x = 0、1\)
よって、増減表は

x		0		1
f'(x)	+	0	–	0	+
f(x)	↗	極大値	↘	極小値	↗

となる。

また、

\(f(x) = \int^x_{0}3t(t – 1)dt = \int^x_{0}(3t^{2} – 3t) dt\)
\(= [t^{3}]^x_{0} – \frac{3}{2}[t^{2}]^x_{0}\)
\(= x^{3} – \frac{3}{2}x^{2}・・・（＊）\)

よって、増減表および（＊）より

\(x = 0\) で極大値 \(f(0) = 0、x = 1\) で極小値 \(f(1) = -\frac{1}{2}\)

したがって、

極大値 \(0（x = 0）、\)極小値 \(-\frac{1}{2}（x = 1）\)（答）

\(f(x) = x^{3} – \frac{3}{2}x^{2}\) のグラフは

確かに極大値 \(0（x = 0）、\)極小値 \(-\frac{1}{2}（x = 1）\) なっていますね。
グラフがあるせいで、記事がやたら長くなりました。すみません。

次回は＜積分方程式＞です。どうぞお楽しみに b＾＾)

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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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今日もご一読いただき、ありがとうございました。

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