こんにちは、Frankです。
今日で165日目。今回の単元「⋃（カップ）と ⋂（キャップ）の計算」
では交換法則、結合法則、分配法則の確認をします。
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・⋃（カップ）と ⋂（キャップ）の計算
＊\(A\cup B = B\cup A、A\cap B = B\cap A\)
＊\((A\cup B)\cup C = A\cup(B\cup C)、(A\cap B)\cap C = A\cap(B\cap C)\)
＊\(\left.
\begin{array}{l}
A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)\\
A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C)\,
\end{array}
\right\}
\)
＊\(A\cup U = U、A\cap U = A\)
＊\(A\cup\phi = A、A\cap\phi = \phi\)
面倒くさいですがベン図を使えば証明できるので、今回は久しぶりに
テキストもう一度高校数学の455ページの【演習175】の証明にチャレ
ンジしました。
全体集合 \(U\) の部分集合 \(A、B、C\) について、以下の等式が成り立つ
ことを証明せよ。
\((A\cap(B\cup C))\cup(A\cap(\overline{B}\cap\overline{C})) = A\)
（左辺）＝（右辺）を証明すればいいので、先ずは分配法則から
\((A\cap(B\cup C))\cup(A\cap(\overline{B}\cap\overline{C}))\)
\(= A\cap(B\cup C)\cup(\overline{B}\cap\overline{C}))\)
\(= A\cap((B\cup C)\cup(\overline{B\cup C}))\)
\(= A\cap U\)
\(= A =\)（右辺）
テキストの演習の解答にも書いてあるとおり、
上記の \((B\cup C)\cup(\overline{B\cup C})\) は \(X\cup\overline{X} = U\) より、
\((B\cup C)\cup(\overline{B\cup C}) = U\) となります。
初めて \(\cup（カップ）\) と \(\cap（キャップ）\) の羅列を見たときはアレルギー
反応がありましたが、今は少し慣れて記号だけをしっかりと追えるよう
なりました。すべては慣れですね。
次回は＜集合の要素の個数＞です。集合の最終回になります。
どうぞお楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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