こんにちは、Frankです。
今日で159日目。今回の単元「相加・相乗平均」では証明問題と
最小値を求める問題にチャレンジです。
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・相加・相乗平均
\(a>0、b>0\) において、\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（等号は \(a = b\) で成り立つ）
最小値を求める問題は相加・相乗平均を利用すれば簡単に求まる
ので、今回は証明問題を取り上げます。
\(a>0\) のとき、\(4a + \frac{9}{a}\geq 12\) であることを証明してみます。
\(a>0\) ゆえ、相加・相乗平均より
\(\require{cancel}4a + \frac{9}{a}\geq 2\sqrt{4\cancel{a}・\frac{9}{\cancel{a}}} = 2\sqrt{36} = 12\)
よって、、\(4a + \frac{9}{a}\geq 12\)
等号は \(4a = \frac{9}{a}、4a^{2} = 9 ∴ a = \frac{3}{2}（>0）\) で成り立つ。
テキストもう一度高校数学の437ページにも書いてありましたが、
証明問題で逆数の形があれば相加・相乗平均を疑ってみることで
すね。
次回は＜コーシー・シュワルツの不等式＞です。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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