こんにちは、Frankです。
今日で161日目。今回の単元「絶対値の不等式」はけっこう厄介ですね。
「\(a\) と \(|a|\) は何がちゃうねん？」というレベルでしか理解していません。
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・\(|a + b|^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
・\(|a| = |-a|\)
・\(|a||b| = |ab|\)
・\(\frac{|b|}{|a|} = |\frac{b}{a}|\)
・\((|a|+|b|)^{2} = |a|^{2} + 2|a||b| + |b|^{2} = a^{2} + 2|ab| + b^{2}\)
今回は２つの問題にチャレンジします。
１．\(|a|<1、|b|<1\) のとき、不等式 \(ab + 1 > a + b\) が成り立つこと
を証明する。
\((ab + 1) – (a + b) = (b – 1)a – (b – 1) = (a – 1)(b – 1)\)
\(|a|<1、|b|<1\) であることから、\(a - 1 < 0、b - 1 < 0\)
よって、\((a – 1)(b – 1) > 0\)、すなわち \((ab + 1) – (a + b) > 0\)
∴ \(ab + 1 > a + b\) となります。
２．\(a > 0、b > 0\) のとき、不等式 \(\sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\) が成り立つことを証
明する。
相加・相乗平均の関係式をベースに考えます。
\(\frac{1}{a} > 0、\frac{1}{b} > 0\) であるので、
\(\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{a}・\frac{1}{b}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} > 0、\frac{1}{\sqrt{ab}} > 0\) であるから、
\(\sqrt{ab}\geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\) となります。
注意すべき点は、
\(A\geq B > 0\Longleftrightarrow 0 <\frac{1}{A}\leq\frac{1}{B}\) の等号関係ですね。
証明に当たっては、『チャート式｜解法と演習｜数学Ⅱ＋Ｂ』の54, 55
ページを参照させていただきました。
相加・相乗平均が使えると楽しいですね。
次回から＜集合＞に入ります。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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