こんにちは、Frankです。
今日で158日目。今回の単元「不等式の証明」では例題を解いて
基礎知識を固めておきます。前回同様、チャートの黄色を参考に
させていただきました。
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\(a\geq 0、b\geq 0\) のとき、\(\sqrt{2(a + b)}\geq\sqrt{a} + \sqrt{b}\) が成り立つこ
とを証明します。
両辺の平方の差を作り、結果が \(\geq 0\) であればいいですね。
\(\displaystyle\left\{\sqrt{2(a + b)}\right\}^{2} – (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}\)
\(= 2(a + b) – (a + 2\sqrt{ab} + b)\)
\(= a – 2\sqrt{ab} + b\)
\(= (\sqrt{a} – \sqrt{b})^{2}\geq 0\)
よって、\(\displaystyle\left\{\sqrt{2(a + b)}\right\}^{2}\geq(\sqrt{a} + \sqrt{b})^{2}\)
\(\sqrt{2(a + b)}\geq 0、\sqrt{a} + \sqrt{b}\geq 0\) であることから
\(\sqrt{2(a + b)}\geq\sqrt{a} + \sqrt{b}\)
尚、上記の証明より \(a = b\) のときに等号がなりたつことが分かり
ます。応用学習として『チャート式｜解法と演習｜数学Ⅱ＋Ｂ』
の演習問題（P46）を解いてみました。もう一度高校数学はチャ
ートを凝縮した感じですね。
次回は＜相加・相乗平均＞です。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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【参考図書】『もう一度高校数学』（著者：高橋一雄氏）株式会社日本実業出版社
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