こんにちは、Frankです。
今日で160日目。今回の単元では「コーシー・シュワルツの不等式」
（Cauchy–Schwarz inequality）の証明が目的となります。
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・コーシー・シュワルツの不等式（\(a、b、c、x、y、z\) が実数のとき）
＊\((a^{2} + b^{2})(x^{2} + y^{2})\geq(ax + by)^{2}\)（\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\) で等号成立）
＊\((a^{2} + b^{2} + c^{2})(x^{2} + y^{2} + z^{2})\geq(ax + by + cz)^{2}\)
（\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\) で等号成立）
高校の授業ではあまり扱われないとのことでしたが、『チャート式｜
解法と演習｜数学Ⅱ＋Ｂ』の55ページのEXERCISESで取り上げていた
ので、証明問題としてチャレンジしました。
次の不等式を証明せよ。
\((a^{2} + b^{2} + c^{2})(x^{2} + y^{2} + z^{2})\geq(ax + by + cz)^{2}\)
単純に \(A – B =・・・=・・・= 0\) にすればいいので、
\((a^{2} + b^{2} + c^{2})(x^{2} + y^{2} + z^{2}) – (ax + by + cz)^{2}\)
\(= a^{2}y^{2} + a^{2}z^{2} + b^{2}x^{2} + b^{2}z^{2} + c^{2}x^{2} + c^{2}y^{2} – 2abxy – 2bcyz – 2cazx\)
\(= (ay – bx)^{2} + (bz – cy)^{2} + (cx – az)^{2}\geq 0\)
よって、\((a^{2} + b^{2} + c^{2})(x^{2} + y^{2} + z^{2})\geq(ax + by + cz)^{2}\)
等号が成り立つのは、
\(ay – bx = 0\)、\(bz – cy = 0\)、\(cx – az = 0\)、
すなわち、
\(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\) のときである。
テキストもう一度高校数学の学習が一通り終わったら『チャート式｜
解法と演習｜数学Ⅱ＋Ｂ』を演習問題として使用し問題に慣れていく
か、大学入試問題にチャレンジするか、いずれかの形で学習を続けて
行こうと思っています。
次回は＜絶対値の不等式＞です。どうぞお楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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