こんにちは、Frankです。
今日で186日目。今回の単元「二項定理（binomial theorem）・
多項定理（multinomial theorem）」では展開した数式の係数を
求めてみます。
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・二項定理：\((a + b)^{n}\) の展開式を一般化したもの。
\((a + b)^{n} = a^{n} + _{n}C_{1}a^{n-1}b + _{n}C_{2}a^{n-2}b2 + _{n}C_{3}a^{n-3}b^{3} +\)
\(・・・ + _{n}C_{r}a^{n-r}b^{r} + ・・・ + _{n}C_{n-1}ab^{n-1} + _{n}C_{n}b^{n}\)
＊右辺を二項展開、第 \(r + 1\) 項目 \(_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}\) を一般項と呼び、\(_{n}C_{r}\)
を二項係数という。
＊\((a + b)^{n} = \displaystyle\sum_{r=0}^{n}\,_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}\)
今回は多項定理を使って、係数を求めてみます。著作権を侵害
しないよう、数値を変えて解法します。
\((x – y + z)^{5}\) の \(x^{3}yz\) の係数を求めよ。
一般項より \(a = x、b = -y、c = z、n = 5\) とすると
\(\frac{5!}{p!q!r!}x^{p}(-y)^{q}z^{r} = \frac{5!}{p!q!r!}(-1)^{q}x^{p}y^{q}z^{r}（p + q + r = 5）\)
ここで求めたいのは \(x^{3}y^{1}z^{1}\) の係数により、\(p = 3、q = 1、r = 1\) と
し、\(p + q + r = 5\) を満たす。
よって、求める係数は、\(\frac{5!}{p!q!r!}\) より \(p = 3、q = 1、r = 1\) を代入
\(\frac{5!}{3!1!1!}(-1)^{1} = \require{cancel}\frac{5・4・\bcancel{3}・\bcancel{2}・\bcancel{1}}{\bcancel{3}・\bcancel{2}・\bcancel{1}・\bcancel{1}・\bcancel{1}}(-1) = -20\)（答）
次回は＜確率＞です。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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