こんにちは、Frankです。
今日で106日目。この単元では三角関数の半角や３倍角の公式、さら
には積を和に直す公式をフル活用します。
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・２倍角の公式
＊\(sin2α=2sinαcosα\)
＊\(cos2α=cos^{2}α-sin^{2}α=2cos^{2}α-1=1-2sin^{2}α\)
＊\(tan2α=\frac{2tanα}{1-tan^{2}α}\)
・半角の公式
＊\(sin^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-cos\theta}{2}\)
＊\(cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+cos\theta}{2}\)
＊\(tan^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-cos\theta}{1+cos\theta}\)
・３倍角の公式
＊\(sin3α=3sinα-4sin^{3}α\)
＊\(cos3α=4cos^{3}α-3cosα\)
＊\(tan3α=\frac{3tanα-tan^{3}α}{1-3tan^{2}α}\)
総合演習のつもりで、\(\int sin^{6}xdx\) の不定積分を求めてみます。
\(sin^{6}x = (sin^{3}x)^{2} = \displaystyle\left\{\frac{1}{4}(3sinx – sin3x)\right\}^{2}\\
= \frac{1}{16}(9sin^{2}x – 6sinxsin3x + sin^{2}3x)\\
= \frac{9}{32}(1 – cos2x) + \frac{3}{16}(cos4x – cos2x) + \frac{1}{32}(1 – cos6x)\\
= \frac{10}{32} – \frac{15}{32}cos2x + \frac{6}{32}cos4x – \frac{1}{32}cos6x\)
よって
\(\int sin^{6}xdx = \frac{1}{32}\int(10 – 15cos2x + 6cos4x – cos6x)dx\)
\(= \frac{5}{16}x – \frac{15}{64}sin2x + \frac{3}{64}sin4x – \frac{1}{192}sin6x + C\)（\(C\)：積分定数）（答）
いや～ここまで来ると数Ⅲレベルですね。テキストに書いてある通り、
焦らず地道に学習していきます。定着方法を思案中です。
次回は＜置換積分＞ですね。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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