こんにちは、Frankです。
今日で122日目。今回は準公式をマスターして、簡単に面積を求める
方法を学習します。只、気を付けるべき点が何点かありそうです。
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・準公式 \(S = \int^\beta_{\alpha}a(x – \alpha)(x – \beta)dx = \frac{|a|}{6}(\beta – \alpha)^{3}\)
いつものように著作権の関係から、テキストもう一度高校数学の364、
365ページの例題の数式を若干変えて問題を解くことにします。
放物線 \(y = x^{2} + 3x + 2\) と直線 \(y = 2x + 8\) によって囲まれた部分
の面積 \(S\) を求めてみます。
\(y = x^{2} + 3x + 2 = (x + \frac{3}{2})^{2} – \frac{1}{4}\)
つぎに、曲線と直線との交点の \(x\) 座標を求めます。
\(x^{2} + 3x + 2 = 2x + 8\)
\(x^{2} + x – 6 = 0\)
\((x + 3)(x – 2) = 0\)
∴ \(x = -3、2\)
よって、下図のグラフより求める面積 \(S\) は
\(S = \int^2_{-3}(2x + 8 – x^{2} – 3x – 2)dx\)
\(= \int^2_{-3}(-x^{2} – x + 6)dx\)
\(= -\frac{1}{3}[x^{3}]^2_{-3} – \frac{1}{2}[x^{2}]^2_{-3} + 6[x]^2_{-3}\)
\(= -\frac{1}{3}(8 + 27) – \frac{1}{2}(4 – 9) + 6(2 + 3)\)
\(= \frac{-70 + 15 + 180}{6}\)
\(= \frac{125}{6}\)（答）
準公式を使うと、
\(a = 1、\alpha = -3、\beta = 2\)
\(S = \int^2_{-3}(x^{2} + x – 6)dx\)
\(= \frac{|1|}{6}\displaystyle\left\{(2 – (-3)\right\}^{3}\)
\(= \frac{1}{6}・5^{3}\)
\(= \frac{125}{6}\)（答）
検証できました。素晴らしい！d(＾＾)
次回は＜ベクトル＞に入ります。これは究めたいですね b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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