こんにちは、Frankです。
今日で120日目。今回はテキストにも書いてある通り「定積分の計算
は必ず定数になる」を念頭に関数 \(f(x)\) を求めます。
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いつものように著作権の関係から、テキストもう一度高校数学の360,
361ページの例題の数式を若干変えて問題を解くことにします。
すべての実数 \(x\) について、次の関係式を満足する関数 \(f(x)\) を求めて
みます。
\(f(x) = 1 + \int^1_{0}(x^{2} – 1)f(t)dt\)
\(f(x) = 1 + x^{2}\int^1_{0}f(t)dt – \int^1_{0}f(t)dt\)
\(\int^1_{0}f(t)dt\) は一定の値なので \(a\) とおくと、
\(f(x) = ax^{2} + 1 -a\) とかけるので、
\(\int^1_{0}(at^{2} + 1 – a)dt\)
\(= [\frac{a}{3}t^{3} + (1 – a)t]^1_{0}\)
\(= \frac{1}{3}a + 1 – a\)
\(= -\frac{2}{3}a + 1\)
これが \(a\) に等しいので、
\(a = -\frac{2}{3}a + 1\)
∴ \(a = \frac{3}{5}\)
よって、
\(f(x) = \frac{3}{5}x^{2} + 1 – \frac{3}{5}\)
\(= \frac{3}{5}x^{2} + \frac{2}{5}\)（答）
もちろん、もっと複雑な関係式もありますが、今回はこれぐらい
にしておきます。積分の章もあと４ページで終わりです。
次回は＜面積と定積分の関係＞です。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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