こんにちは、Frankです。
今日で173日目。今回の単元「数学的帰納法」では、帰納的手法で
等式や不等式などを証明します。英語では “mathematical induction”
――So cool!
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今回は倍数の証明にチャレンジしてみましょう。
数学的帰納法で \(n\) が自然数のとき、\(7^{n} – 2n – 1\) が \(4\) の倍数である
ことを証明します。
\(7^{n} – 2n – 1\) が \(4\) の倍数とする・・・①
\(i: n = 1\) のとき
\(7 – 2 – 1 = 4\)
よって①は成り立つ。
\(ii:\) 次に \(n = k\) のときに成り立つと仮定すると、
\(7^{k} – 2k – 1 = 4p\)（\(p\) は整数）・・・②
\(n = k + 1\) のとき②から、
\(7^{k+1} – 2(k + 1) – 1\)
\(= 7・7^{k} – 2(k + 1) – 1\)
\(= 7(4p + 2k + 1) – 2(k + 1) – 1\)
\(= 28p + 12k + 4\)
\(= 4(7p + 3k + 1)\)
\(7p + 3k + 1\) は整数なので、\(4(7p + 3k + 1)\) は \(4\) の倍数になる。
よって、\(n = k + 1\) のときも①は成り立つ。
したがって、\(i、ii\) より①はすべての自然数 \(n\) について成り立つ。
以上で論理の章は終了。次回から＜場合の数・確率＞に入ります。
どうぞお楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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