こんにちは、Frankです。
今日で13日目。もう一度高校数学を参考に高校数学を学習しています。
数学音痴の私ゆえ、骨格となる学習項目だけ準拠させて頂いています。
内容は噛み砕いて独自の表現法で書いています。
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・平方根・因数分解・平方完成・解の公式を利用する
今回はかなり内容の濃い学習でした。特に平方完成と解の公式および
実数解の存在如何を判別する判別式は、“簡にして要を得た” 判別法で
感心しました。
平方完成（completing square）
\(ax^2 \pm bx+c=a(x \pm p)^2+q\) で左辺の２次式を右辺のように、
\((括弧)^2\) の形にすることです。
以下、テキストの整式とは異なった例で完成させます。
１．\(x^2\) の係数が１の場合
\(x^2+4x-4=(x+2)^2-2^2-4=(x+2)^2-8\)
２．\(x^2\) の係数が１でない場合
\(3x^2-x+2=3(x^2-\frac{1}{3}x)+2\)
\(=3\begin{Bmatrix}(x-\frac{1}{6})^2-(-\frac{1}{6})^2\end{Bmatrix}+2\)
\(=3(x-\frac{1}{6})^2-3(-\frac{1}{6})^2+2\)
\(=3(x-\frac{1}{6})^2-3 \times \frac{1}{36}+2\)
\(=3(x-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{12}+2\)
\(=3(x-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{12}+\frac{24}{12}\)
\(=3(x-\frac{1}{6})^2+\frac{23}{12}\)
\(x^2\) の係数は１で定数項は無視すること――この２点が大事です。
解の公式（quadratic formula）
次の２つの公式を押さえておけば大丈夫です。
１．２次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) において
\(x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
２．２次方程式 \(ax^2+2b’x+c=0\) において
\(x = \frac{-b’\pm\sqrt{b’^2 – ac}}{a}\)
\(x\) の係数が偶数である点に注意してください。
判別式（discriminant）
２次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) において判別式を \(D\) とすると
\(D=b^2-4ac\)
\(D>0\Rightarrow\) ２つの実数解を持つ
\(D=0\Rightarrow\) １個の重解を持つ
\(D<0\Rightarrow\) ０個（虚数解を持つ）
テキストとは異なる方程式で解の個数を見てみましょう。
\(3x^2-3x+3=0\)
\(a=3、b=-3、c=3\) ですから \(D=b^2-4ac\) に代入すると
\(D=(-3)^2-4\times 3\times 3=9-36=-27<0\) ０個となります。
判別は簡単でしたね。次回は高次方程式を解きます。
【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
【参考図書】『もう一度高校数学』（著者：高橋一雄氏）株式会社日本実業出版社
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