こんにちは、Frankです。
今日で81日目。もう一度高校数学を参考に高校数学を学習しています。
数学音痴の私ゆえ、骨格となる学習項目だけ準拠させて頂いています。
内容は噛み砕いて独自の表現法で書いています。
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・\(y=x^{n}\) を微分すると、\(y’=nx^{n-1}（n：自然数［正の整数］）\)
・\(y=c\) を微分すると、\(y’-0（c は定数）\)
微分大好きの私でも、「なんで？」と思ったのは、
＊\(y=x^{n}（n：自然数）\) を定義に従って微分すると、
\(y’=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\)
\(=\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h-x)\displaystyle\left\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+\cdots +x^{n-1}\right\}}{h}\)
\(=nx^{n-1}\)
の展開でした。
テキストの274ページの点線の枠内の説明から、１）因数分解により
理解する方法と、２）\((x+h)^{n}\) を二項定理［二項展開］で理解する
方法があるのは分かりましたが、どうしてそんなにいとも簡単に展開
できるのか疑問で、ネットで色々調べた結果、以下のことが分かりま
した。
因数分解による理解
まず \(a=x+h、b=x\) と置き、\(a^{n}-b^{n}\) を因数分解します。
左辺を \(a\) の多項式とみる、\(P(a)=a^{n}-b^{n}\)、
\(P(b)=0\) より、\(P(a)\) は \((a-b)\) を因数として持つ、
そこで \(a^{n}-b^{n}\) を \((a-b)\) で割り算を行うと、
上の式が得られるというものです。
二項定理による理解
\((x+h)^{n}=_{n}C_{0}x^{n}h^{0}+_{n}C_{1}x^{n-1}h^{1}+_{n}C_{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}x^{1}h^{n-1}+_{n}C_{n}x^{0}h^{n}\)
例えば \((x+h)^{2}\) を展開すると \(x^{2}+2hx+h^{2}\) になりますが、係数
はパスカルの三角形から容易に得られます。二項定理とパスカルの三
角形を使えば最強です。
テキストの275ページの例題および【演習139】【演習140】は難なく
全問正解。只、注意点として、
\(x\) の係数が１の１次式に限り
\(y=(x+p)^{n}\) を微分すると、\(y’=n(x+p)^{n-1}\) が成り立つ
\(（n；自然数［正の整数］）\) というもの。
私の場合、二項定理［二項展開］は、パスカルの三角形から理解した
方が分かりやすかったです。
\(_{n}C_{k}=m\)（\(n\) 個の中から \(k\) 個を選ぶ方法が \(m\) 通りある）はややこ
しくて、パスカルの三角形だけでいいじゃないの、って思っちゃいま
した。勉強不足ですみません (＾＾)>
二項定理はまた復習するとして次回は＜定数倍と和・差の微分計算＞
に入ります。楽しみです b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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