こんにちは、Frankです。
今日で118日目。今回はぶったまげました。「なんだ定積分の単なる
続きだ」と思ったら大間違い。公式を見てびっくりです。
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・定積分の部分積分 \(\int^b_{a}u’vdx = [uv]^b_{a} – \int^b_{a}uv’dx\)
なぜ驚いたかと言うと、テキストもう一度高校数学の342ページの部
分積分の公式をすっかり忘れていたからです。
\(\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) – \int f(x)g'(x)dx\)
もしくは、\(f(x) = u、g(x) = v\) とおいて
\(\int u’vdx = uv – \int uv’dx\)
上記の式を定積分にも応用するというわけです。
早速、復習して、次の定積分を求めてみました。著作権上、テキスト
の357ページの【演習165】の数式を若干変えて掲載しています。
\(\int^{\frac{π}{2}}_{0}xcos\,xdx\)
\(\int^b_{a}uv’dx = [uv]^b_{a} – \int^b_{a}u’vdx\) より、
\(u = x、v’ = cos\,x\) と考える。
よって、はじめに
\(v’ = cos\,x → v = sin\,x\)。
つぎに
\(u = x → u’ = 1\)
とする。
\(\int^{\frac{π}{2}}_{0}xcos\,xdx = [xsin\,x]^{\frac{π}{2}}_{0} – \int^{\frac{π}{2}}_{0}six\,xdx\)
\(= (\frac{π}{２}sin\frac{π}{2} – 0) – (sin\frac{π}{2} – 0)\)
\(= \frac{π}{2}・1 – 1\)
\(= \frac{π}{2} – 1\)（答）
となります。
いや～ちゃんと「復習」しておかないと、後になって「復讐」される
典型的な例ですね。数学は積み重ねの学問。何度肝に銘じていること
やら (＾＾)>
次回は＜微分と定積分の関係＞です。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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