こんにちは、Frankです。
今日で119日目。今回は定積分の関数の極値を求めます。
微分と積分の理解が必須で同時進行なんです。
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・微分と定積分の関係（\(x\) は変数、\(a\) は定数）
＊\(\frac{d}{dx}\int^x_{a}f(t)dt = f(x)\)
・定積分の公式
＊\(\int^a_{a}f(t)dt = 0\)
この単元では定積分の極値を求めてみます。著作権の関係上、数式
を若干変えて計算します。
関数 \(f(x) = \int^x_{0}3t(t – 1)dt\) の極値を求めます。
\(f'(x) = 3t(t – 1)\)
ここで、\(f'(x) = 0\) のとき、\(x = 0、1\)
よって、増減表は
| x | 0 | 1 | |||
| f'(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大値 | ↘ | 極小値 | ↗ |
となる。
また、
\(f(x) = \int^x_{0}3t(t – 1)dt = \int^x_{0}(3t^{2} – 3t) dt\)
\(= [t^{3}]^x_{0} – \frac{3}{2}[t^{2}]^x_{0}\)
\(= x^{3} – \frac{3}{2}x^{2}・・・（＊）\)
よって、増減表および（＊）より
\(x = 0\) で極大値 \(f(0) = 0、x = 1\) で極小値 \(f(1) = -\frac{1}{2}\)
したがって、
極大値 \(0（x = 0）、\)極小値 \(-\frac{1}{2}（x = 1）\)（答）
\(f(x) = x^{3} – \frac{3}{2}x^{2}\) のグラフは
確かに極大値 \(0（x = 0）、\)極小値 \(-\frac{1}{2}（x = 1）\) なっていますね。
グラフがあるせいで、記事がやたら長くなりました。すみません。
次回は＜積分方程式＞です。どうぞお楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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