こんにちは、Frankです。
今日で136日目。今回学習する「三角形の面積」ではベクトルの内積
と三角比が登場します。基礎的な三角形の面積の求め方との融合で、
少々目が眩みそうです。
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・\(\vec{AB} = \vec{a}、\vec{AC} = \vec{b}\) とすると、\(\Delta ABC\) の面積 \(S\) は
＊\(S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} – (\vec{a}・\vec{b})^{2}}\)
・\(\vec{OA} = (a_{1}, a_{2})、\vec{OB} = (b_{1}, b_{2})\) のとき、\(\Delta OAB\) の面積 \(S\) は
＊\(S = \frac{1}{2}|a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}|\)
（【出典】テキストもう一度高校数学の398ページ）
１つ目の面積の公式では \(S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta\) の公式が必要になります。
この計算方法を忘れていたので復習すると、
\(\Delta ABC\) において \(B\) 点から \(AC\) の辺に垂直に下しその接点を \(H\) と
し、\(AB\) と \(AC\) のなす角を \(\theta\) とします。
\(S = \frac{AC・BH}{2}・・・①\)
\(\sin\theta = \frac{BH}{|\vec{a}|}\) より
\(BH = |\vec{a}|sin\theta・・・②\)
②を①に代入すると、
\(S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta\)
となります。
それでは３点を頂点とする三角形の面積を求めてみましょう。いつ
ものように著作権を侵害しないように、例題の数字を変えて解法し
てみます。
３点 \(A(3, 1)、B(4, -1)、C(2, -2)\) を頂点とする \(\Delta ABC\) の面積
を求める。
始点を \(A\) として、
\(\vec{AB} = \vec{OB} – \vec{OA} = (4, 1) – (3, 1) = (1, 0)\)
\(\vec{AC} = \vec{OC} – \vec{OA} = (2, -2) – (3, 1) = (-1, -3)\)
よって、
\(S = \frac{1}{2}|a_{1}b_{2} – a_{2}b_{1}| = \frac{1}{2}|1・（-3) – 0・(-1)| = \frac{3}{2}\)（答）
となります。
三角形の面積って、いろんな求め方があるんですね。
驚きました ﾋﾞｸｯ(￣┏_┓￣；)!!
テキストの筆者、高橋一雄氏が仰るように、最初の面積の公式は
使い勝手が悪そうなので、私も２つ目の公式を使おうと思います。
次回はベクトルの最後の単元＜点と直線の距離＞です。
お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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【参考図書】『もう一度高校数学』（著者：高橋一雄氏）株式会社日本実業出版社
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