こんにちは、Frankです。
今日で91日目。大好きな微分が当分続きます。お付き合いください。
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・対数微分法では両辺底を \(e\) として微分する
・連鎖微分を活用する
テキストの例を変えますが、
\(y = x^{2x}（x > 0）\)
\(y = \frac{x + 5}{(x + 3)^{2}(x + 1)^{3}}\)
\(y = \sqrt{\frac{x^{4}}{(x + 2)^{2}}}\)
のような関数を対数微分するのです。
対数微分するにあたって最低限押さえておくべきことは、
＊ \(A = B \Leftrightarrow \log A = \log B\)
＊ \(\log\frac{A}{B} = \log A – \log B\)
＊ \(\log A^{x} = x\log A\)
といった公式を活用することです。
久しぶりに【演習153】は２問とも正解しました。私が \(y = x^{sinx}\)
のような関数を対数微分できるようになったなんて、夢のようです。
折角ですから、試しに \(y = x^{cosx}\) を対数微分してみましょう。
\(y = x^{cosx}\\
\log y = \log x^{cosx}\\
= cosx\log x\\
\frac{d}{dy}\log y\frac{dy}{dx}=(cosx)’\log x + cosx(\log x)’\\
\frac{1}{y}・\frac{dy}{dx} = -sin x・\log x + cosx・\frac{1}{x}\\
∴ \frac{dy}{dx} = (-sinx・\log x + cos x・\frac{1}{x})・y\\
= x^{cos x}(\frac{cosx}{x} – sin x・\log x)（答）\)
このように計算してみたものの、自分としては定着した感覚がないの
で、もっと演習問題でスラスラと解けるようにならないと駄目ですね。
次回は＜陰関数の微分＞です。お楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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