こんにちは、Frankです。
今日で151日目。今回の単元「一次変換」（linear transformation）
を学習してみて思ったのは、今更ながら「行列って便利なんだ」
ということでした。
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・変換 \(f\) により、点 \((x, y)\) → 点 \((x’, y’) = (ax + by, cx + dy) \)
とすると、
\(\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}\Longrightarrow\) ∴ \(f：\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)
このとき、行列 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) が１次変換を表す。
※変換式には定数項なし。
早速、テキストもう一度高校数学の423ページの例題にならって、
１次変換 \(f\) を求めてみます。
著作権の関係から座標点の数字を適当に変えてみました。答えに
分数が出て来て大変になりました (＾＾)>
２点 \((2, 0)、(1, -3)\) をそれぞれ \((5, 3)、(1, 3)\) に移す１次変換
\(f\) を求める。
１次変換 \(f\) を表す行列を \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) とおくと、
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}・・・①\)
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}・・・②\)
①②より
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}^{-1}\)
∴ \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}^{-1}\)
\(= -\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
\(= \begin{pmatrix} \frac{15}{7} & \frac{3}{7} \\ \frac{9}{7} & -\frac{3}{7} \end{pmatrix}\)（答）
こんな計算でいいんでしょうか？ 間違っていたら教えてくださいね。
１次変換にどういう意味があるのかまだわかっていませんが、なんと
なく計算方法がわかったので、これから応用ができそうです。
次回は＜１次変換の合成＞です。どうぞお楽しみに b＾＾)
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【高校数学（数ⅠA・数ⅡB・数ⅢC）を復習する】でもっと学習する b＾＾)
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